今日算法13-剪绳子

一、题目描述

题目链接：https://leetcode.cn/problems/jian-sheng-zi-lcof/

难易程度：中等

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n 都是整数，n > 1 并且 m > 1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是 8 时，我们把它剪成长度分别为 2、3、3 的三段，此时得到的最大乘积是 18。

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

二、解题思路

贪心法

尽可能得多剪长度为 3 的绳子，并且不允许有长度为 1 的绳子出现。如果出现了，就从已经切好长度为 3 的绳子中拿出一段与长度为 1 的绳子重新组合，把它们切成两段长度为 2 的绳子。以下为证明过程。

将绳子拆成 1 和 n-1，则 1(n-1)-n=-1<0，即拆开后的乘积一定更小，所以不能出现长度为 1 的绳子。

将绳子拆成 2 和 n-2，则 2(n-2)-n = n-4，在 n>=4 时这样拆开能得到的乘积会比不拆更大。

将绳子拆成 3 和 n-3，则 3(n-3)-n = 2n-9，在 n>=5 时效果更好。

将绳子拆成 4 和 n-4，因为 4=2*2，因此效果和拆成 2 一样。

将绳子拆成 5 和 n-5，因为 5=2+3，而 5<2*3，所以不能出现 5 的绳子，而是尽可能拆成 2 和 3。

将绳子拆成 6 和 n-6，因为 6=3+3，而 6<3*3，所以不能出现 6 的绳子，而是拆成 3 和 3。这里 6 同样可以拆成 6=2+2+2，但是 3(n - 3) - 2(n - 2) = n - 5 >= 0，在 n>=5 的情况下将绳子拆成 3 比拆成 2 效果更好。

继续拆成更大的绳子可以发现都比拆成 2 和 3 的效果更差，因此我们只考虑将绳子拆成 2 和 3，并且优先拆成 3，当拆到绳子长度 n 等于 4 时，也就是出现 3+1，此时只能拆成 2+2。

复杂度分析

时间复杂度 O(1) ： 仅有求整、求余、次方运算。

• 求整和求余运算：资料提到不超过机器数的整数可以看作是 O(1)；
• 幂运算：查阅资料，提到浮点取幂为 O(1)。

空间复杂度 O(1) ： 变量 a 和 b 使用常数大小额外空间。

三、代码实现

public int cutRope(int n) {
    if (n < 2)
        return 0;
    if (n == 2)
        return 1;
    if (n == 3)
        return 2;
    int timesOf3 = n / 3;
    if (n - timesOf3 * 3 == 1)
        timesOf3--;
    int timesOf2 = (n - timesOf3 * 3) / 2;
    return (int) (Math.pow(3, timesOf3)) * (int) (Math.pow(2, timesOf2));
}

推荐阅读

• 今日算法09-青蛙跳台阶问题

封面

今日算法系列，题解更新地址：https://studeyang.tech/2023/0911.html